O chamado "Último teorema de fermat" é um dos mais famosos resultados da teoria das números. Ele diz o seguinte: "Não se pode separar uma potência com expoente maior que dois em uma soma de duas potências com o mesmo expoente". Ou, em linguagem matemática: Ne (a,b,c) : a^n + b^n = c^n, n > 2.

Essa asserção foi feita pelo matemático francês Pierre de Fermat no século XV. Fermat anotou esta observação na margem de sua cópia do livro "Arithmetica" de Diofante, que possuía. Junto com a afirmação, Fermat não escreveu nenhuma prova, apenas a seguinte observação:

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet". ("Eu encontrei uma
maravilhosa prova para isto, porém esta margem é pequena demais para contê-la").

== As tentativas ==
O enunciado do problema tem uma aparência incrivelmente simples, e facilmente compreensível até mesmo por leigos em matemática. De fato, a equação de Fermat é uma generalização do teorema de Pitágoras, tão conhecido por todos nós. E mesmo com toda essa aparente simplicidade, os matemáticos ficaram sem saber se a afirmação era válida ou não durante quase 400 anos.

Alguns dos mais importantes e notáveis matemáticos da História, que tiveram muito sucesso em outras áreas, falharam na tentativa de provar o que Fermat dizia já ter provado. Vários casos para expoentes particulares foram provados, mas a validade do caso geral permanecia um mistério. Euler foi o primeiro, e provou que não existiam soluções para a equação de Fermat quando n=3. Em 1825, Dirichlet e Legendre conseguiram mostrar que também não existiam soluções quando n=5 e Lamé, em 1839, mostrou que o mesmo se aplicava a n=7.

Estas provas para casos específicos eram, porém, longas demais e pouco elegantes. Por isso, era pouco provável que as idéias nelas contidas pudessem ser generalizadas.

A conjectura de Fermat tem também uma estatística bem peculiar: Ela é a conjectura matemática para a qual o maior número de provas incorretas já foi publicado. Até mesmo muitos leigos, sem nenhuma base matemática, acreditavam serem capazes de resolver um problema que "parecia tão simples".

== A prova ==
Somente em 1994 o mundo teve certeza da validade da conjectura, quando o inglês Andrew Wiles publicou sua prova de mais de 200 páginas para o teorema. A jornada que levou à prova de Wiles começou no final da década de 60, quando Yves Hellegouarch associou soluções (a,b,c) da equação de Fermat com um objeto matemático completamente diferente: Curvas Elípticas. O estudo de curvas elípticas pertence à geometria algébrica, um campo aparentemente não relacionado com a teoria dos números.

Um outro ponto fundamental foi a formulação da conjectura da Tanyiama-Shimura, pelos jovens matemáticos japoneses Yutaka Tanyiama e Goro Shimura. Esta conjectura dizia (não é mais uma conjectura) que há um isomorfismo entre curvas elípticas e formas modulares. Em outras palavras, toda curva elíptica é uma forma modular e vice-versa, são somente duas maneiras de se ver o mesmo objeto matemático.

A relação entre a conjectura de Tanyiama-Shimura e a equação de Fermat foi descoberta por Gerhard Frey. Ele descobriu que se houvesse uma solução para a equação de Fermat, com essa solução poderia-se gerar uma curva elíptica não-modular, ou seja: ¬(fermat) --> ¬(tanyiama-shimura).

Contrapositiva: (tanyiama-shimura) --> (fermat)

Assim, para quem quisesse provar o último teorema de Fermat, bastava provar a conjectura de Tanyiama-Shimura. Então Andrew Wiles, um doutor em Matemática britânico, viu a oportunidade de realizar seu sonho de criança. Desde os 10 anos de idade ele tinha como sonho provar o teorema. Ele fez doutorado sobre curvas elípticas, e portanto ele viu a oportunidade para provar fermat usando tanyiama-shimura. Após 7 anos trabalhando sozinho e em segredo, em 1994 Wiles publicou sua prova de 200 páginas, causando uma enorme publicidade para o prroblema e para a Matemática como um todo.

== Contribuições ==
Nas várias tentativas de prova do último teorema de Fermat, e especialmente na tentativa bem-sucedida de Wiles, muitas idéias frutíferas e com aplicações práticas surgiram. Entre elas, podem se citar as seguintes:

- A teoria dos grupos, desenvolvida por Évariste Galois e usada na prova de Wiles, é utilizada na Computação, contribuindo para Teoria da Informação, codificação para correção e detecção de erros em transmissão de dados.

- Curvas elípticas estão sendo atualmente estudadas como uma alternativa à criptografia utilizando fatoração de inteiros. Caso sejam implementados computadores quânticos, existem algoritmos (Shor) que seriam capazes de resolver o problema da fatoração com complexidade linear, o que elimina a utilidade do problema para a criptografia. Já a utilização de curvas elípticas seria imune mesmo à Computação Quântica.