\chapter{Matrizes}
	Dada a importância do conceito de matriz para a Cifra de Hill, é necessária uma
	revisão desse conceito, abordado de forma conveniente. É também importante
	rever algumas das operações matriciais mais usadas na criptografia.
	
	\section{Definição formal de matrizes}
		Tomando por base o conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais, o produto
		cartesiano de $ \mathbb{N} \times \mathbb{N} = \mathbb{N}^2 $ indicará o
		conjunto de todos os pares ordenados (a,b), então um subconjunto importante de
		$\mathbb{N}^2$ é obtida como sendo:
		\[ S_{mn} = \{ (i,j) | 1 \leq i \leq m   \text{ e }  1 \leq j \leq n \} \]
		
		Com base nisso, uma Matriz é uma função que a cada par ordenado (i,j) no
		conjunto $S_{mn}$ associa um número real.
		\[ f: S_{mn} \to \mathbb{R} \]
		
		Uma matriz, também pode ser definida simplesmente como uma ``tabela'' de m x n
		números reais, representada sob a forma de um quadro com m linhas e
		n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistema de
		equações lineares e transformações lineares.
		
		Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se
		$m \times n$) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Um elemento
		de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento
		i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como $A_{ij}$ ou A(i,j),
		reforçando o significado como função.
		
		Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de
		vetor. Uma matriz $1 \times n$ (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha
		ou matriz linha, e uma matriz $m \times 1$ (uma coluna e m linhas) é chamada de
		vetor coluna ou matriz coluna.
		
		\begin{description}
			\item[Exemplo:] Tomando a Matriz A com m = 2 e n = 3 pode-se obter um elemento
			qualquer através da função $f$.
			
			\[ 
				A = \begin{bmatrix}
					4 & 0 & 9 \\
					1 & 7 & 3 \\
				\end{bmatrix}
			\]
			
			onde $f(1,1) = 4; f(1,2) = 0$ e assim por diante \ldots
		\end{description}
		
		Nesse exemplo, temos $Dom(f) = \{ (1,1); (1,2); \ldots ; (2,3) \}$ e 
		$Contradom(f) = \mathbb{R}$.
	
	
	\section{Principais operações matriciais utilizadas na Criptografia}
		
		
		\begin{description}
			\item[Adição e subtração]
			Esta operação só faz sentido entre matrizes que têm o mesmo número de linhas e
			colunas (mesma ordem). Sejam duas matrizes $A_{m,n}$ e $B_{m,n}$. Então a
			matriz $R = A \pm B$ é uma matrix $m \times n$ tal que cada elemento de R é
			dado por:
			\[ r_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} \]
			
			\item[Multiplicação por um escalar]
			Seja a matriz $A_{m,n}$ e c um escalar $(c \in \mathbb{R})$. A matriz $P = cA$ 
			é uma matriz $m \times n$ tal que cada elemento de P é dado por:
			\[ p_{ij} = c \cdot a_{ij}  \]
			
			\item[Multiplicação de matrizes]
			Sejam as matrizes $A_{m,p}$ e $B_{p,n}$ (o número de colunas da primeira deve
			ser igual ao número de linhas da segunda). O produto AB é dado pela matriz
			$C_{m,n}$ cujos elementos são calculados por:
			\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj} \]
			
			Pode-se ainda fazer uma interpretação da multiplicação entre duas matrizes
			``uma linha por vez'', ou ``uma coluna por vez''. Exemplificarei usando o caso
			por coluna. Dessa maneira, a primeira coluna de AB é a matriz A multiplicada
			pela primeira coluna de B, e assim por diante \ldots Um exemplo seria:
			
			\[ 
				\begin{bmatrix}
					4 & 0 \\
					1 & 7 \\
				\end{bmatrix}
				\begin{bmatrix}
                	2 \\ 1 \\
                \end{bmatrix}
				= 2 \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}
                + 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 7 \\ \end{bmatrix}
			\]
			
			Essa definição é totalmente equivalente à anterior, e deixa mais claro a
			função que as operações matriciais ocupam nas transformações sobre vetores.
			
			\item[Inversão de matrizes]
			Sendo A uma matriz quadrada $A^{-1}$ é dita sua inversa, se e somente se
			$A^{-1} A = I = A A^{-1}$. Uma outra condição que também determina se uma
			matriz é inversível é seu determinante: Uma matriz A é inversível se e
			somente se $det(A) \neq 0$.
			
			Uma vez verificada que uma matriz é inversível, ou seja, possui determinante
			diferente de zero, existem vários métodos para se obter sua inversa. Um
			deles se resume em:
			\[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot cof(A)^{t} \]
			
		\end{description}
